學數學要抽象到什麼程度？

抽象化的誘惑

學數學到一定程度後，你會發現很多東西「其實是同一個東西」。群論告訴你旋轉和加法有共同結構，拓撲學告訴你甜甜圈和咖啡杯是「一樣的」，範疇論告訴你幾乎所有數學分支都在做同一件事。

這種統一的視角非常迷人，很容易讓人想一路抽象上去——從具體的例子跳到一般化的框架，再跳到更一般化的框架。

但我漸漸覺得，抽象化有一個邊際效益遞減的拐點，而這個拐點的位置因人而異。

好的抽象 vs 壞的抽象

好的抽象讓你看見原本看不見的結構。比如學了線性代數之後，你會發現微分方程、傅立葉變換、量子力學都在做線性映射和特徵值分解。這個抽象化的 ROI 極高。

壞的抽象是為了抽象而抽象。你花了三個月學會了某個高度一般化的框架，結果你能用它推導的東西，用具體的方法十分鐘就能做到。

我的經驗

我在學微分幾何的時候有過很深的體會。你可以用非常抽象的方式定義流形——先定義拓撲空間，再定義圖冊（atlas），再定義切向量是方向導數，再定義切叢……

但你也可以先想像一個彎曲的曲面，在上面畫座標線，然後慢慢理解為什麼需要更嚴格的定義。

後者的學習效率，至少對我來說，高太多了。

幾個原則

1. 先具體，再抽象。確保你手上有足夠多的例子，才去尋找它們的共同結構。
2. 抽象層級要配合問題。如果你在解 PDE，你可能不需要 Scheme theory。
3. 能用具體語言說清楚的就不要用抽象語言。抽象語言是壓縮，不是裝飾。
4. 注意你是在「學數學」還是在「學語言」。如果你花了大部分時間在搞清楚 notation 而不是理解概念，可能需要找一本更具體的書。

結語

數學的美在於它能用簡潔的框架描述複雜的現象。但簡潔不等於抽象——有時候最簡潔的描述反而是一個好的具體例子。

抽象到什麼程度？抽象到你開始覺得自己在空轉的前一步。